La réponse en fréquence d’un système LTI est la DTFT de la réponse impulsionnelle,
H(ω) = ∑(m =−∞ à ∞) h(m) e−jwm.
La réponse impulsionnelle d’une moyenne mobile de l’échantillon L est
h(n) = 1/L, pour n = 0, 1,…, L-1
h(n) = 0, sinon
Puisque le filtre de moyenne mobile est FIR, la réponse en fréquence se réduit à la somme finie
H(ω) =(1/L) ∑(m = 0 à L-1) e-jwm..
Nous pouvons utiliser l’identité très utile
pour écrire la réponse en fréquence comme
H(ω) = (1/L) (1−e−jw L) /(1−e-jw).
où nous avons laissé a = e-jw, N = 0 et M = L-1. On peut s’intéresser à l’amplitude de cette fonction afin de déterminer quelles fréquences traversent le filtre sans être atténuées et lesquelles sont atténuées. Vous trouverez ci-dessous un graphique de l’amplitude de cette fonction pour L = 4 (rouge), 8 (vert) et 16 (bleu). L’axe horizontal varie de zéro à π radians par échantillon.
Notez que dans les trois cas, la réponse en fréquence a une caractéristique passe-bas. Une composante constante (fréquence nulle) dans l’entrée traverse le filtre sans être affectée. Certaines fréquences plus élevées, telles que π/2, sont complètement éliminées par le filtre. Cependant, si l’intention était de concevoir un filtre passe-bas, nous ne l’avons pas très bien fait. Certaines des fréquences les plus élevées ne sont atténuées que d’un facteur d’environ 1/10 (pour la moyenne mobile de 16 points) ou de 1/3 (pour la moyenne mobile de quatre points). Nous pouvons faire beaucoup mieux que cela.
Le tracé ci-dessus a été créé par le code Matlab suivant:
oméga = 0: pi /400: pi;
H4 = (1/4) *(1-exp(-i * oméga * 4))./(1-exp(-i* omega));
H8 =(1/8) *(1-exp(-i*omega*8))./(1-exp(-i* omega));
H16 =(1/16) *(1-exp(-i*omega*16))./(1-exp(-i*omega));
tracé (omega,)
axe()